Предисловие
Те кто впервые сталкивается с программированием 3D-графики могут встретить ряд трудностей, а именно - теоретические и практические пробелы в знаниях. Данный цикл статей призван восполнить эти пробелы и помочь тем, кто решил заняться освоением DirectX. Примеры даны применительно к Delphi 6-7.
Основы теории векторов
Вектор - направленный отрезок, имеющий направление и длину. Задается триадой чисел (x, y, z). Причем начало вектора - это центр системы координат - (0, 0, 0), а конец вектора как раз указанная тройка чисел.
Длина вектора - обозначается |a|, вычисляется как
|a| = Sqrt(Sqr(ax) + Sqr(ay) + Sqr(az)),
где ax, ay, az - соответствующие координаты вектора, Sqrt - функция вычисления квадратного корня, Sqr - вычисление квадрата числа. В DirectX для вычисления длины вектора используется функция D3DXVec3Length;
Сложение векторов - если a и b векторы, то
a + b = c.
Можно также записать
a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz);
Результат операции - вектор c. В DirectX для сложения векторов используется функция D3DXVec3Add; Графически сложение векторов можно представить так:
Вычитание векторов:
с - a = b;
c - a = (cx - ax, cy - ay, cz - az);
Результат операции - вектор b. В DirectX для вычитания векторов используется функция D3DXVec3Sub;
Скалярное произведение векторов (dot product) - произведение длин этих векторов на Cos угла между ними. Другими словами скалярное произведение векторов - это длина проекции вектора a на вектор b (при условии, что вектор b - единичный).
a . b = |a||b|cos d;
или
a . b = axbx + ayby + azbz;
В DirectX для скалярного произведения векторов используется функция D3DXVec3Dot;
Следствие: d - угол между двумя векторами:
cos d = a . b /(|a||b|);
Проекция одного вектора на другой - для того, чтобы вычислить проекцию вектора b на вектор a, требуется нормировать вектор a, то есть сделать его единичным, и произвести скалярное умножение этого вектора на вектор b, а затем полученное число умножить на нормированный вектор a.
Обозначим искомый вектор как c, тогда
Normalize(a) = a / |a|; В DirectX для нормализации векторов используется функция D3DXVec3Normalize;
c = (Normalize(a) . b)*Normalize(a);
Умножение вектора на вектор (cross product) - умножая вектор a на вектор b, мы получим вектор, перпендикулярный плоскости, которую определяют вектора a и b.
a x b = (aybz - byaz, azbx - bzax, axby - bxay);
Смысл выражения записанного в скобках следующий: в плоскостях YZ, ZX и XY производится векторное вычитание проекций указанных двух векторов на эти плоскости, так находятся 3 новых результирующих проекции которые и определяют координаты нового результирующего вектора.
На рисунке ниже показаны проекции (чтобы не усложнять рисунок). Предполагается, что концы векторов A и B лежат на поверхности единичной сферы (т.е. их длины равны 1).
Фактически, таким образом находится вектор нормали к полигонам. В DirectX для векторного произведения 2х векторов используется функция D3DXVec3Cross;
Небольшой вычислительный эксперимент для проверки смысла векторного произведения.
Пусть векторы A и B - единичные векторы лежащие на осях координат X и Y соответственно, т.е.
A(1, 0, 0), B(0, 1, 0),
тогда их векторное произведение даст - A x B = (AyBz-ByAz, AzBx-BzAx, AxBy-BxAy) = (0*0-1*0, 0*0-0*1, 1*1-0*0)=(0, 0, 1), т.е. единичный вектор лежащий на оси Z.
Всё правильно.
